Dinâmica celeste

Equação da trajetória

Referências

Imaginemos um míssil lançado desde a superfície da Terra verticalmente, e que no ponto mais alto de sua trajetória explode em vários fragmentos iguais que saem em todas as direções com igual velocidade.

O movimento posterior dos fragmentos, é devido unicamente a força de atração da Terra e por tanto, descrevam órbitas elípticas se sua energia total é negativa.

Descrição

O momento angular e a energia de um fragmento de massa m lançado desde uma distância r0 do centro da Terra, com velocidade v0 fazendo um ângulo φ com o raio vetor é

Todos os fragmentos tem a mesma energia E, porém distinto momento angular L

Em uma página prévia, demonstramos que o semi-eixo maior a é independente do momento angular L, e somente depende da energia total E.

Todos os fragmentos tem o mesmo semi-eixo maior a. Pela terceira lei de Kepler o período de todos os fragmentos será o mesmo. Todos os fragmentos saem de uma vez do mesmo ponto y regressam depois de um tempo igual ao período ao mesmo ponto.

Vamos estudar agora os distintos casos que podem ocorrer dependendo do ângulo de lançamento.

Quando o ângulo φ=0

O momento angular L=0, para o qual a trajetória é uma linha reta que passa pelo centro de forças. O fragmento é elevado e logo cai até a Terra ao longo da direção radial.

A máxima distância r a qual se distancia o fragmento, é calculada colocando v=0 na equação da constância da energia e a seguir, explicitamos r.

A velocidade v com a qual impacta na superfície da Terra, é obtido colocando r=R (raio da Terra) na equação da energia

Quando o ângulo φ=180º

O fragmento cai diretamente até a superfície da Terra, alcançando sua superfície com a velocidade v calculada no tópico anterior.

Quando o ângulo φ=90º

O fragmento descreve uma elipse cujo eixo maior é 2a=r+r0. Aplicando a constância do momento angular e da energia.

Resolvemos o sistema de duas equações com duas incógnitas para calcular r e v.

Quando o ângulo é φ

O fragmento descreve uma elipse cujo eixo maior está girado com relação ao eixo X.

Os dois fragmentos cujas velocidades formam com o raio vetor ângulos φ e 180-φ, tem o mesmo momento angular e a mesma energia. Suas trajetórias são simétricas relativo ao eixo X, tal como podemos ver na figura.

Atividades

Introduza

• A velocidade v₀ do fragmento no controle de edição titulado Velocidade

• A posição r₀  no controle de edição titulado Posição.

Clique no botão titulado Começar

Não são aceitos valores de v₀ e r₀ que dão lugar:

• a uma energia E positiva ou nula.

• a uma trajetória cujo apogeu seja maior que 6 unidades

• a uma trajetória cujo perigeu seja menor que 0.1 unidades

Se é cumprido alguns destes três casos, em foco volte ao controle de edição titulado Velocidade, para que o usuário mude os valores destes dois parâmetros.

No caso de que os dois valores sejam aceitos, observe as trajetórias dos fragmentos cuja velocidade forma ângulos de 30º, 60º, 90º, 120º e 150º com o raio vetor.

Observamos que todas as trajetórias tem o mesmo eixo maior e por tanto, os fragmentos voltam a encontrar no ponto de partida transcorrido um período P.

Exemplos

Para resolver estes exemplos adotamos um Sistema de Unidades tal que GM=1

Suponha que introduzimos os seguintes valores

• Posição, r₀=3.0

• Velocidade, v₀=0.5

Quando o ângulo é φ=0.

A distância máxima que alcança o fragmento na direção radial é

Quando φ=90.

Primeiro, calculamos a velocidade de escape a distância r₀=3.0, que é

Depois, calculamos a velocidade e distância máxima ou mínima ao centro de forças

O eixo maior da elipse é 2a= 3.0+1.8=4.8

Quando o ângulo é φ=30.

O momento angular vale L=0.5·3·sen30º=0.75

A energia vale E=0.5²/2-1/3=-0.21

Calculamos a excentricidade ε da elipse e o parâmetro d

ε²=1-2·0.75²·0.21=0.77

d=0.75²=0.5625

A mínima distância do fragmento ao centro de forças é produzida quando a posição angular θ=0º é a máxima quando θ=180º

O eixo maior da elipse é 2a=r_min+r_máx=4.8

O eixo maior da elipse obtemos de forma direta mediante a fórmula

O período de todos os fragmentos é

Equação da trajetória

Como foi descrito em outras páginas, uma partícula submetida a uma força central atrativa, inversamente proporcional ao quadrado da distância ao centro de forças, descreve uma trajetória elíptica se sua energia total E<0 é negativa,

Os parâmetros d e ε (excentricidade) estão relacionados com o momento angular L e a energia E da partícula

Neste tópico, vamos determinar a equação da elipse que descreve uma partícula que dista r₀ do centro de forças, disparada com velocidade inicial v₀, fazendo um ângulo φ entre esta velocidade e a linha que une o centro de forças e o ponto de disparo, tal como é mostrado na figura.

Por ser a força de atração conservativa, a energia é constante em todos os pontos da trajetória e vale

Por ser a força de atração central, o momento angular é constante em todos os pontos da trajetória.

L=mr₀·v₀·senφ

A equação de uma elipse girada de um ângulo θ_g é

r e θ são as coordenadas polares da partícula, a distância a origem e o ângulo que forma o raio vetor que une o centro de forças e a partícula com o eixo X, respectivamente.

θ_g é o ângulo que forma o eixo maior da elipse com o eixo X, que é calculado do seguinte modo: quando θ=0, r=r₀

Conhecida a energia E e o momento angular L, determinamos os valores dos parâmetros d e ε da elipse.

Definimos o parâmetro adimensional

EM função deste parâmetro

A medida que o ângulo de disparo muda, 0<φ<π, a excentricidade da elipse varia

• A excentricidade é máxima ε=1, quando φ=0

• A excentricidade é mínima ε=(A-2)/2, quando φ=π/2

Como caso particular mencionaremos, que quando A=2, ou quando a velocidade de disparo é

a trajetória é uma circunferência, ε=0, de raio r₀.

A equação da elipse girada um ângulo θ_g é

Simplificando, chegamos a equação 

Envolvente das elipses

Ao variar o ângulo φ com a qual é disparada a partícula, a equação da envolvente das trajetórias elípticas são obtidas derivando com relação a φ e igualando a zero.

Simplificando chegamos a expressão

Introduzimos esta expressão na equação da elipse, tendo em conta a relação trigonométrica

realizando algumas operações

e explicitando r, obtemos a equação da elipse

Atividades

• Introduza o valor do parâmetro A, atuando na barra de deslocamento titulada Parâmetro

Clique no botão titulado Desenhar

São desenhadas as trajetórias elípticas das partículas disparadas com ângulos φ=30º, 60º, 90º, 120º, 150º e também a envolvente destas elipses.