Dinâmica celeste

Cálculo da aceleração da gravidade no pólo

Uma superfície equipotencial

Fórmula internacional da aceleração da gravidade (1967)

Referências

A forma da Terra e dos outros planetas não é a de uma esfera e sim a de esferóide achatado nos pólos devido ao movimento de rotação ao redor de seus eixos. Nesta página, é estabelecido a relação entre os raios equatoriais e polar por dois procedimentos distintos.

A direção do prumo

Devido a rotação da Terra, a direção radial não coincide com a direção vertical, ou com a direção do prumo, que é uma corda da qual pende um pedaço de chumbo que é utilizado pelos albaniles para comprovar a verticalidade das paredes que constroem.

A Terra considerada como uma esfera de raio R.

Suponhamos uma massa pontual m que pende de uma corda, situada em um lugar do hemisfério norte cuja latitude é λ. A Terra gira sobre seu eixo com velocidade angular constante ω. A partícula descreve uma circunferência de raio R·cos λ,  sendo R o raio da Terra para um observador inercial

A resultante das forças que atuam sobre a partícula deverá ser igual ao produto da massa pela aceleração normal a_n=ω²R·cos λ, e estará dirigida para o centro da circunferência que descreve a partícula.

As forças  que atuam sobre a partícula são:

• A força de atração da Terra, que tem direção radial e está dirigida para seu centro, e cujo módulo é

• A tensão T da corda que é presa a partícula, e que forma um ângulo φ com a direção radial, tal como é apreciada na figura.

A partícula está em equilíbrio ao longo do eixo Y.

T·sen(λ+φ)-mg₀·senλ=0

A partícula tem uma aceleração a_n ao longo do eixo X.

Tcos(λ+φ)- mg₀·cosλ=-mω²R·cos λ

Eliminando T no sistema de duas equações, obtemos

       (1)

onde foi tomado R=6.37·10⁶ m, ω=2π/(23.93·60·60) rad/s, y g₀=9.81 m/s²

Depois de algumas operações trigonométricas, explicitamos o ângulo φ que forma o prumo com a direção radial

Como α é pequeno frente a unidade, e o ângulo φ é pequeno podemos escrever

Na latitude correspondente ao norte da Espanha, algo mais de λ=43º, temos que φ=0.099º.

A forma da Terra

A direção do prumo é a mesma que a da aceleração da gravidade efetiva g. A forma da superfície da Terra será tal que seja perpendicular a g em cada um de seus pontos.

A tangente a superfície da Terra em um ponto de latitude λ é perpendicular a direção do prumo ou direção vertical neste ponto. Recordando que a inclinação da tangente a uma curva y=f(x) em x₀ é o valor da derivada dy/dx da função neste ponto. Como vemos na parte esquerda da figura

Na parte direita da figura, temos que tanλ=y/x

A partir da expressão (1), obtemos a equação diferencial que descreve a forma da superfície da Terra

Integramos esta equação

(1-α)x²+y²=c

onde c é uma constante de integração. Determinamos os raios equatorial a, e polar b tendo em conta que para y=0, x=a, e para x=0, y=b.

A equação da superfície da Terra é a de uma elipse

O achatamento da Terra é o quociente

Os valores medidos dos dois raios equatorial e polar da Terra são respectivamente.

a=6 378 137 m, b=6 356 752 m 

o que da um achatamento de f=3.35·10^-3 que é aproximadamente o dobro que o obtido anteriormente.

Para explicar a discrepância devemos ter em conta que a lei da Gravitação Universal

se aplica a duas massas pontuais M e m separadas de uma distância r, ou a uma distribuição esférica de massa M e uma partícula de massa m situada a uma distância r maior que o raio da esfera. No caso de que o corpo seja de uma forma distinta de uma esfera, temos que calcular a força que produz cada um dos elementos de volume do corpo extenso sobre a partícula considerada, as componentes destas forças e a resultante, como veremos no tópico seguinte.

Para uma Terra com a forma de esferóide, a energia potencial gravitacional é desenvolvida em harmônicos esféricos (veja referência 1), para calcular g₀ em função da latitude λ e o ângulo que forma com a direção radial.

Cálculo da aceleração da gravidade no pólo

A aceleração da gravidade em um ponto P situado a uma distância r da massa pontual M é definida como a força sobre a unidade de massa.

g=F_g/m

Neste tópico, mostraremos a dificuldade que apresenta o cálculo da aceleração da gravidade g no pólo produzida por uma distribuição uniforme de massa em forma de elipsóide de revolução de semi-eixos horizontal a, e vertical b, sendo a>b.

Se Z é o eixo que passa pelos pólos, por simetria a aceleração da gravidade no pólo terá a direção do eixo Z e sentido para o centro do elipsóide.

Para calcular seu módulo g, dividamos o elipsóide em discos de raio y e de espessura dz. Calculemos a intensidade do campo gravitacional no ponto de coordenadas (0, 0, b) produzido por cada um dos discos

O primeiro passo, consiste em calcular o campo produzido pelo anel de raio x de largura dx e de espessura dz no pólo, situado a uma distância b-z deste anel.

Seja ρ é a densidade constante da distribuição uniforme de massa. A massa contida no anel é ρ·2πx·dx·dz. O campo produzido por esta massa é

Por simetria, as componentes horizontais (ao longo do eixo X e Y) deste campo se anulam de duas em duas, (flechas de cor vermelha na figura do centro) ficando somente a componente Z

Integramos relativo a variável x, entre os limites 0 e y para calcular o campo total produzido pelo disco de raio y e de espessura dz.

Relacionamos a variável y e z para integrar relativo a variável z entre os limites –b e b A equação da elipse de semi-eixos a e b é

A aceleração da gravidade no pólo é obtida integrando

Deixamos para o leitor a resolução desta integral.

Uma superfície equipotencial

Um objeto situado sobre a superfície da Terra a uma latitude λ, descreve um movimento circular de raio x=r·cosλ tal como é mostrado na figura.

As forças que atuam sobre este objeto desde o ponto de vista de um observador não inercial que se move com a Terra são:

• A força de atração gravitacional, F_g que tem direção radial, e sentido para o centro da Terra e vale

sendo r a distância entre o objeto e o centro da Terra, M a massa da Terra e G a constante da gravitação..

• A força centrífuga, F_c está dirigida para fora do centro da circunferência que descreve o objeto.

F_c=mω²x

sendo ω a velocidade angular constante de rotação da Terra.

A resultante de ambas forças é a tensão T da corda que prende a partícula de massa m.

Forças conservativas. Energias potenciais

A força de atração F_g é conservativa e sua energia potencial é

De novo, supomos que a Terra é aproximadamente esférica, e não levamos em conta o alongamento produzido no equador como conseqüência do movimento de rotação da Terra.

A força centrífuga depende unicamente da distância x ao eixo de rotação é por tanto, uma força conservativa, cuja energia potencial é

Tomando o nível zero da energia potencial no eixo de rotação x=0.

A energia potencial total é a soma de ambas contribuições

A forma da Terra é a de uma superfície equipotencial, já que a direção vertical ou a direção da intensidade da gravidade efetiva g é perpendicular a superfície equipotencial em cada ponto desta superfície.

Seja r=b, quando λ=π/2, a energia potencial vale Ep=-GMm/b. Assim que o valor de b determina a superfície equipotencial que descreve a forma da superfície da Terra.

Esta não é a equação de uma elipse, porém pode aproximar-se desta supondo que a é um pouco maior que b.

Seja r=a, quando λ=0. A raiz da equação cúbica determina a em função de b, G, M e ω.

Conhecido b podemos encontrar a empregando um procedimento de cálculo numérico.

Na tabela seguinte, são proporcionados os dados relativos a massa em kg, período de rotação em horas, e os valores dos raios a (equatorial) e b (polar) de alguns planetas do Sistema Solar.

Fonte: segundo artigo citado na referência 2

Com o dado de G=6.67·10^-11 Nm²/kg². Para a Terra, a velocidade angular de rotação é

Para facilitar o cálculo no computador, expressamos a distância em unidades de 10⁶ m. A equação que nos permite calcular a a partir do valor observado de b=6.356 é

a³-23594.12a+149964.23=0

Para calcular as raízes desta equação cúbica sugerimos dois procedimentos:

Raízes de uma equação cúbica

x³+ax²+bx+c=0

a=0, b=-23594.12, c=149964.23

Calculamos

Se R²<Q³ como este é o caso, calculamos

As raízes da equação cúbica são:

Veja Numerical Recipes in C: The art of scientific computing. Cambridge University Press (1988-1992), pp. 183-185.

Procedimento iterativo 

Esta equação pode ser transformada nesta outra equivalente

para encontrar a raiz pelo método de iteração partindo de um valor inicial próximo a b, obtendo o valor a=6.367.

Este pequeno programa feito em Java calcula o raio equatorial a da Terra pelo método de iteração. Veja Curso de Procedimentos Numéricos em Linguagem Java

public class Planeta{
  public static void main(String[] args) {
        System.out.println(raiz(6.0));
    }

   static double raiz(double x0){
        double x1;
        while(true){
            x1=(x0*x0*x0+149964.23)/23594.12;
            if(Math.abs(x1-x0)<0.001)   break;
            x0=x1;
        }
        return x0;
   }
}

Fórmula internacional da aceleração da gravidade (1967)

A aceleração da gravidade a nível do mar para uma latitude λ é dada pela fórmula

g=9.780 318·(1+0.005 302 4·sen²λ-0.000 005 9· sen²2λ) m/s²

Esta fórmula leva em conta a rotação da Terra e que a Terra não é uma esfera perfeita, e sim que é achatada nos pólos.

Quando nos elevamos de uma altura h sobre o nível do mar temos que introduzir uma correção, que diminui o valor de g relativo ao valor no nível do mar.

onde g₀=9.832 m/s² é a aceleração da gravidade ao nível do mar nos pólos, R=6371 km é o raio médio da Terra.

Δg= 3.086·10^-6 ·h m/s²

Tem outros fatores corretores que temos que levar em conta, como se o terreno que rodeia a localidade de observação é montanhosa ou plano. Veja a página 831 do artigo (Nelson, 1981)

Referências

Mohazzabi P, James M. Plumb line and the shape of the earth. Am. J. Phys. 68 (11) November 2000, pp. 1038-1041

Iona M. Why is g larger at the poles?. Am. J. Phys. 46 (8) August 1978, pp. 790-791.

Nelson R. A. Determination of the acceleration due to gravity with the Cenco-Behr free-fall apparatus. Am. J. Phys. 49 (9) September 1981, pp. 829-833