Dinâmica celeste |
ATENÇÃO: Página do Prof: Everton G. de Santana
Nesta página eu apenas traduzi podendo ter introduzido, retirado ou não alguns tópicos, inclusive nas simulações. A página original, que considero muito boa é:
Autor: (C) Ángel Franco García
Leis de Kepler O descobrimento da lei da gravitação Força central e conservativa Equação da trajetória Solução numérica das equações Órbita de transferência Encontros espaciais Trajetória espiral Encontro de uma sonda espacial com Júpiter Órbitas de mesma energia Trajetória de um projétil (I) Trajetória de um projétil (II) Movimento relativo Queda de um satélite em órbita até a Terra. Os anéis de um planeta Movimento sob uma força central e uma perturbação O problema de Euler
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O sistema Terra-Lua fixo no espaço Movimento do sistema Terra-Lua Movimento de uma partícula sob a influência da Terra e da Lua |
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Na página anterior, estudamos o problema de Euler dos três corpos, quando dois deles estão fixos no espaço, e uma terceira partícula de pequena massa se move no espaço circundante. Supomos que o movimento da partícula é confinado a um plano que contém os corpos fixos. Nesta página, propomos um problema algo mais complicado. Suponhamos que a Terra e a Lua se movem em órbitas circulares ao redor de seu centro de massas comum. Desprezamos a influência do Sol e do resto dos planetas. Uma nave espacial situada em uma órbita circular estacionária a uma altura h sobre a superfície da Terra, acende seus foguetes que proporcionam uma velocidade Δv adicional na direção tangente a sua trajetória circular. Suponha que o tempo de ignição dos foguetes é muito pequeno comparado com o tempo gasto pela nave espacial para descrever a órbita circular.
O sistema Terra-Lua fixo no espaçoAntes de propor as equações do movimento, vamos nos familiarizar com o sistema formado pela Terra e a Lua resolvendo alguns problemas simples. Dados do sistema Terra-Lua:
Suponhamos que a Terra e a Lua estão fixos no espaço. Vamos calcular a velocidade mínima com a qual devemos disparar uma bala, desde a superfície da Terra, ao longo da direção que une os centros dos dois corpos celestes, para que chegue a Lua.
Entre a Terra e a Lua tem um ponto de equilíbrio situado a uma distância x do centro da Terra. Um objeto de massa m situado neste ponto experimenta duas forças de atração iguais e de sentido contrário. Como a massa da Terra é maior que a massa da Lua, este ponto xe estará próximo da Lua.
A posição de equilíbrio na linha que une o centro da Terra com o centro da Lua, se encontra a xe=345.7 ·106 m do centro da Terra. A energia potencial da partícula sob a ação da força de atração da Terra e da Lua é
Na figura, mostramos o gráfico da energia potencial, a posição de equilíbrio corresponde a um máximo de Ep(x), se trata de uma posição de equilíbrio instável.
No eixo horizontal a distância x é expressa em frações do raio da Terra de modo que xe=54.27·RT
Temos que disparar a bala desde a superfície da Terra com uma velocidade v superior a uma mínima A energia da bala na superfície da Terra x=RT é
A energia da bala na posição de equilíbrio, é Colocando ve=0, e aplicando o princípio de conservação da energia, obtemos a velocidade mínima de disparo vT=11076.8 m/s Podemos comparar esta velocidade, com a velocidade de escape da superfície da Terra unicamente
v=11190.7 m/s
Movimento do sistema Terra-Lua
A posição do centro de massas do sistema Terra–Lua se encontra entre o centro da Terra e o centro da Lua a uma distância rT da Terra e rL da Lua, tal como é mostrada na figura. Como a massa da Terra é maior que a massa da Lua MT>ML logo, rT<rL. Situando a origem no centro de massas.
Explicitamos rT e rL
A posição do centro de massas do sistema Terra-Lua está no interior da Terra, mais próxima da superfície que do centro.
O centro da Terra descreve uma trajetória circular de raio rT sob a ação da força de atração da Lua, que dista d de seu centro. Se Ω é a velocidade angular constante. Aplicando a dinâmica do movimento circular uniforme a Terra
Explicitamos a velocidade angular Ω de uma ou da outra equação
O período P=2π/Ω=27.2 dias
Movimento de uma partícula sob a influência da Terra e da LuaSituamos um Sistema de Referência Inercial com origem no centro de massas do sistema Terra-Lua. No instante t, o ângulo que forma a reta que une o centro da Terra com o centro da Lua forma um ângulo Ωt, com o eixo X. As posições da partícula no instante t é (x, y). A posição da Lua é (rL·cos(Ωt), rL·sen(Ωt)). A posição da Terra é (-rT·cos(Ωt), -rT·sen(Ωt))
A distância entre a Lua e a partícula e entre a Terra e a partícula são respectivamente
As componentes da força de atração que exerce a Lua e a Terra sobre a partícula são
Aplicamos a segunda lei de Newton md2x/dt2=Fx, e md2y/dt2=Fy
Sistema de Referência em rotaçãoEstabelecemos um novo Sistema de Referência Não Inercial com a mesmo origem e que se move com velocidade angular Ω, relativo ao Sistema de Referência Inercial. O eixo XR do novo Sistema de Referência é a reta que passa pelo centro da Terra e o Centro da Lua.
Calculamos as derivadas segundas de x e y
Introduzindo estas expressões nas duas equações diferenciais de segunda ordem, e igualando aos coeficientes de cos(Ωt) e de sen(Ωt), obtemos o seguinte sistema de duas equações diferenciais
Os dois termos no primeiro membro representam as componentes das forças de Coriolis e centrífuga por unidade de massa.
Constante do movimentoQuando estudamos o movimento de uma partícula de massa m sob a força de atração de um corpo fixo no espaço de massa M, as equações do movimento foram
Multiplicamos a primeira equação por dx/dt e a segunda equação por dy/dt e tendo em conta que
Onde o símbolo ponto acima da letra indica derivada relativo ao tempo. Chegamos a
Integramos cada um dos dois membros
Onde C é uma constante de integração, que é a energia por unidade de massa que é mantida constante em todos os pontos da trajetória Voltando de novo, as duas equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula no Sistema de Referência em rotação. Multiplicamos a primeira equação por dxR/dt e a segunda equação por dyR/dt e somamos ambas equações, chegamos a
Integrando de forma similar ao caso de uma só força de atração
J se denomina constante de Jacobi
Resolução numérica das equações do movimentoAntes de resolver o sistema de equações diferenciais por procedimentos numéricos, é conveniente prepará-las para que o computador não maneje números excessivamente grandes ou pequenos. Estabelecemos um sistema de unidades no qual o comprimento é medido em unidades do raio da Terra, L=6.37·106 m e o tempo em dias, P=um dia= 24·60·60=86400 s. No novo sistema de unidades x=Lx', t=P·t', primeira equação diferencial é escrita
Com os dados de
e voltando a notação prévia: x e y para a posição e t para o tempo no novo sistema de unidades. O sistema de equações diferenciais é escrito
Resolvemos este sistema de equações diferenciais pelo procedimento de Runge-Kutta, com um passo variável. Este passo, foi escolhido de modo que quando a partícula está distante dos corpos fixos o passo é grande e quando está próximo de algum dos dois corpos o passo é pequeno. Neste sistema de unidades a constante J é expressa
Com os dados numéricos e voltando a notação prévia: x e y para a posição e t para o tempo no novo sistema de unidades. A constante J é escrita neste novo sistema de unidades
O programa interativo resolve numericamente as equações do movimento e calcula a constante J . É calculado em cada instante o quociente
que denominaremos tanto por cento de erro. Quando a constante J difere de J0 de modo que o quociente é maior que a unidade o programa interativo se para, a trajetória calculada pode se desviar significativamente da real.
Condições iniciais
Por exemplo, um satélite artificial que circunda a Terra a uma altura de h=1000 km ou então r=7.37·106 m atinge uma velocidade de v=7356.6 m/s e gasta 1.75 horas para dar uma volta completa. Um satélite geoestacionário que gasta um dia para dar uma volta completa, se encontra a uma altura h=42250.5-3670=38580 km de altura, e sua velocidade é v=3072.5 m/s Quando a nave espacial se encontra na posição tal que faz um ângulo θ, com a direção que une o centro da Terra e o centro da Lua é ligado os foguetes por um breve intervalo de tempo, dando-lhe uma velocidade adicional Δv em direção tangente a trajetória No instante t=0, a nave espacial parte da posição x0=-rT+r·cosθ Com velocidade inicial v0x=-(v+Δv)·senθ Onde Δv é o incremento de velocidade proporcionado pelos foguetes da nave de forma quase instantânea.
AtividadesIntroduza
Clique no botão titulado Início Na parte esquerda na simulação, observe o movimento do sistema Terra-Lua relativo ao Sistema de Referência Inercial com origem no centro de massa de ambos corpos. Na parte direita na simulação, observe o movimento da nave espacial ao redor da Terra, e da Terra que está girando ao redor do c.m. do sistema.
Clique no botão titulado Começar Na parte superior direita na simulação, são proporcionados os dados do tempo em dias desde o momento do lançamento, a posição xR e yR da nave espacial em frações do raio da Terra, relativo ao Sistema de Referência em rotação Na parte inferior, são proporcionados o tanto por cento de erro, da constante J do movimento. Quando é maior que a unidade, o programa para. Nota: Advertimos ao leitor, que como o passo de integração das equações diferenciais do movimento é variável, a velocidade do ponto que representa a partícula na simulação, não corresponde com a velocidade real da partícula.
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Harmon N. J. Leidel C., Lindner J. F. Optimal exit: Solar escape as a restricted three-body problem. Am. J. Phys. 71(9) September 2003, pp. 871-877
Viagem a Lua
