Dinâmica celeste

Princípio de conservação da energia

Atividades

Referências

O movimento de duas massas pontuais sob a ação da força de atração mútua é um problema simples: Os dois corpos se movem em órbitas elípticas ao redor de seu centro de massas. O movimento de três corpos é muito complexo.

O problema de Euler dos três corpos, é um sistema formado por dois corpos de grande massa fixos no espaço, separados de uma distância d, e uma partícula de pequena massa m que se move no espaço circundante. Este problema pode ser resolvido analiticamente, porém é bastante complicado.

Nesta página, são encontradas as equações do movimento e são resolvidas aplicando procedimentos numéricos.

Equações do movimento

Os corpos fixos no espaço tem massas M₁ e M₂, e estão separados uma distância d. Estabeleceremos um Sistema de Referência, com a origem no primeiro corpo, e o eixo X é a reta que une seus centros, tal como é mostrado na figura.

Quando a partícula se encontra na posição (x, y), as forças de atração que exerce cada um dos corpos sobre a pequena partícula são mostradas na figura, seus módulos valem

Decompomos as forças. As equações do movimento da partícula de massa m são:

Temos um sistema de duas equações diferenciais de segunda ordem

Que são resolvidas por procedimentos numéricos com as condições iniciais seguintes: No instante t=0, a partícula se encontra na posição (x₀, y₀) e as componentes de sua velocidade inicial são, (v_0x, v_0y).

Escalas

Antes de resolver o sistema de equações diferenciais por procedimentos numéricos, é conveniente prepará-las para que o computador não maneje números excessivamente grandes ou pequenos.

Estabelecemos um sistema de unidades no qual o comprimento é medido em unidades astronômicas, a distância média entre o Sol e a Terra. L=uma UA=1.496·10¹¹ m e o tempo em unidades de ano, P=um ano= 365.26 dias=3.156·10⁷ s.

Suponhamos o primeiro corpo é o Sol, M₁= 1.98·10³⁰ kg e a massa do segundo corpo é um múltiplo da massa do Sol, M₂=αM₁

No novo sistema de unidades x=Lx', t=P·t', a primeira equação diferencial é escrita

e de forma similar a segunda equação diferencial.

Como L é o semi-eixo maior da órbita da Terra ao redor do Sol, P é o período ou tempo gasto para dar uma volta completa, e M₁ é a massa do Sol. Pela terceira lei de Kepler, o termo

Voltando a notação prévia: x e y para a posição e t para o tempo no novo sistema de unidades. O sistema de equações diferenciais é escrito

Resolvemos este sistema de equações diferenciais pelo procedimento de Runge-Kutta, com um passo variável. Este passo foi escolhido de modo que quando a partícula está distante dos corpos fixos o passo é grande e quando está próxima de algum dos dois corpos o passo é pequeno.

Princípio de conservação da energia

A energia total da partícula é uma constante do movimento.

A energia da partícula de massa m no instante inicial t=0 é

Quando E₀<0 a partícula permanece confinada no espaço que rodeia os dois corpos. Quando E₀≥0 a partícula escapa ao infinito

A energia da partícula no instante t é igual a

No novo sistema de unidades estabelecido, as grandezas velocidade e posição estão relacionadas do seguinte modo:

v=v’·L/P, x=x’·L, y=y’·L, d=d’·L

Voltando a notação prévia. Definimos uma nova energia e por unidade de massa neste sistema de unidades

O programa interativo calcula em cada instante o quociente

que denominaremos tanto por cento de erro. Quando a energia e difere de e₀ de modo que o quociente é maior que a unidade, o programa interativo para, a trajetória calculada pode ser que se desvie significativamente da real.

Atividades

Introduza

• O parâmetro α=M₂/M₁, onde M₁ é a massa do Sol, no controle de edição titulado C. massas.

• A distância d entre os dois corpos fixos, no controle de edição titulado Distância.

• A posição inicial (x₀, y₀), nos dois controles de edição titulados Posição

• A velocidade inicial (v_0x, v_0y), nos dois controles de edição titulados Velocidade

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Observe a trajetória da partícula de massa m. Na parte direita, são proporcionados os dados de sua posição (x, y) e de sua velocidade (v_x, v_y) em cada instante t.

Na parte inferior direita, são mostrados em cor vermelha o tanto por cento de erro. Quando é maior que a unidade o programa interativo para. Como podemos comprovar, as maiores porcentagens de erro é obtida quando a partícula passa muito próxima de algum dos dois corpos fixos.

Nota: Advertimos ao leitor, que como o passo de integração das equações diferenciais do movimento é variável, a velocidade do ponto que representa a partícula na simulação, não corresponde com a velocidade real da partícula.

Aconselhamos provar os seguintes exemplos:

Exemplo 1

• Os dois corpos tem a mesma massa, α=1.0

• A distância fixa entre os dois corpos, d=2.1,

• Posição inicial, x₀=1, y₀=0

• Velocidade inicial v_0x=0, v_0y=6.28

Exemplo 2

• Os dois corpos tem a mesma massa, α=1.0

• A distância fixa entre os dois corpos, d=0.2,

• Posição inicial, x₀=1, y₀=0

• Velocidade inicial v_0x=0, v_0y=6.28

Exemplo 3

• Os dois corpos tem a mesma massa, α=1.0

• A distância fixa entre os dois corpos, d=3.0,

• Posição inicial, x₀=1.5, y₀=0

• Velocidade inicial v_0x=3, v_0y=3