Dinâmica celeste |
ATENÇÃO: Página do Prof: Everton G. de Santana
Nesta página eu apenas traduzi podendo ter introduzido, retirado ou não alguns tópicos, inclusive nas simulações. A página original, que considero muito boa é:
Autor: (C) Ángel Franco García
Leis de Kepler O descobrimento da lei da gravitação Força central e conservativa Equação da trajetória Solução numérica das equações Órbita de transferência Encontros espaciais
Encontro de uma sonda espacial com Júpiter Órbitas de mesma energia Trajetória de um projétil (I) Trajetória de um projétil (II) Movimento relativo Queda de um satélite em órbita até a Terra. Os anéis de um planeta Movimento sob uma força central e uma perturbação O problema de Euler Viagem a Lua |
Posição, velocidade e aceleração em coordenadas polares | |||||
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Nas páginas anteriores, foi visto que uma nave espacial pode passar de uma órbita circular de baixa altura a uma órbita circular de maior altura através de uma órbita semi-elíptica de transferência. O motor proporciona a nave dois impulsos de pequena duração. O primeiro, para colocá-la na órbita de transferência e o segundo, para situá-la na órbita circular de destino. Nesta página, vamos descrever, uma órbita de transferência em forma de espiral logarítmica que une duas órbitas circulares de diferentes raios. Para que a nave siga esta trajetória somente é necessário um motor que proporcione uma aceleração relativamente pequena ao longo da viagem e que vai diminuindo a medida que a nave se distancia do centro de forças. Como exemplo significativo, vamos a descrever a viagem de uma nave espacial das proximidades da Terra (porém fora de sua esfera de influência) até as proximidades do planeta Marte. Em cor preta, é mostrada a trajetória espiral da nave espacial.
Posição, velocidade e aceleração em coordenadas polares
Em coordenadas polares, um eixo tem a direção radial e o outro eixo, a direção perpendicular a radial, tal como é mostrado na figura.
Derivando com relação ao tempo
A aceleração é expressa em coordenadas polares
A espiral logarítmicaA espiral logarítmica é uma das curvas notáveis junto a catenária, a ciclóide, etc. A equação da espiral logarítmica em coordenadas polares é r=r0·exp(b·θ) Onde r0 é o raio inicial, b é um parâmetro, e θ é o ângulo em radianos.
A principal característica da espiral logarítmica é que o raio vetor r, e a tangente a espiral formam um ângulo Ψ que é mantido constante. A velocidade v da partícula que descreve uma espiral logarítmica é
Calculamos o ângulo Ψ entre os vetores v e r, empregando a definição de produto escalar de dois vetores.
Quando b→0, Ψ→π/2 e r→r0, a espiral logarítmica é convertida em uma circunferência de raio r0. Comprimento de um arco da espiral logarítmicaO comprimento de um arco infinitesimal ds é o módulo do vetor deslocamento dr.
O comprimento do arco de espiral logarítmica entre θ=0 e θ é
Equações do movimentoSuponhamos que o motor da nave espacial de massa m proporciona uma força de empuxo F que tem a mesma direção que a velocidade da nave, logo, é tangente a trajetória. As forças que atuam sobre a nave espacial são:
Em coordenadas polares, a equação do movimento é escrita
Como a equação da trajetória é r=r0·exp(θ·cotΨ), calculamos a derivada primeira e segunda de r com relação ao tempo t
Introduzimos estas expressões nas equações do movimento
Explicitamos rd2θ/dt2 na segunda equação e introduzimos na primeira, obtendo a equação
Sabendo que a equação da trajetória é r=r0·exp(θ·cotΨ), integramos esta equação diferencial para obter a variação do ângulo θ com o tempo t.
Tendo em conta que a derivada primeira de r relativo ao tempo t é
Transformamos a equação diferencial em θ uma equação diferencial similar em r.
Integramos esta equação diferencial para obter a variação do raio r com o tempo t.
As equações paramétricas (em função do tempo t) da trajetória são
Velocidade da nave espacialO módulo da velocidade da nave espacial em coordenadas polares é
é igual a velocidade de uma nave espacial que descreva uma órbita circular de raio r. Força de empuxo sobre a nave espacialA segunda equação do movimento, nos permite calcular o módulo da força F de empuxo dos motores da nave.
Conhecemos a expressão da derivada primeira dθ/dt e calculamos a derivada segunda d2θ/dt2 do ângulo θ relativo ao tempo t. Para isto, combinamos as equações
r=r0·exp(θ·cotΨ), para obter a expressão
Derivando com relação ao tempo, e tendo em conta que o segundo membro é constante.
Agora, explicitamos da segunda equação do movimento a força de empuxo
O empuxo F necessário para que a nave espacial descreva uma trajetória em forma de espiral logarítmica vai diminuindo de forma inversamente proporcional ao quadrado da distância r ao Sol. Sua direção é a mesma que a velocidade (tangente a trajetória).
Tempo de viagemO tempo de viagem T a um planeta que dista r do Sol é
A posição angular θ da nave espacial em função do tempo t é
Introduzimos o valor do tempo de viagem t=T, obtemos depois de simplificar
Exemplo
Aplicando a equação da dinâmica do movimento circular uniforme calculamos a velocidade angular de Marte em sua órbita circular ao redor do Sol.
ωM=1.055·10-7 rad/s=0.5225º/dia Cálculos similares são realizados para obter a velocidade angular da Terra ωT em sua órbita circular ao redor do Sol. Se queremos que a viagem da nave espacial entre a Terra e Marte se realize em T=3 anos=36 meses=1080 dias. Da fórmula do tempo T de viagem, obtemos o valor do ângulo Ψ=88.2º. O deslocamento angular da nave espacial é θf=13.3 rad=761º Se a posição inicial (no instante t=0) do planeta Marte é φ0M, sua posição quando chega a nave espacial nas proximidades de sua órbita circular, ao cabo de um tempo T é φM=φ0M+ωMT A nave espacial parte da Terra no instante t=0, quando sua posição é φ0T Para chegar a órbita de Marte, a nave é deslocada de um ângulo θf. Sua posição angular final será φ0T+ θf Para que a posição da nave espacial e de Marte coincidam tem que cumprir a igualdade φ0T+ θf=φ0M+ωMT A diferença entre as posições angulares da Terra e de Marte no momento do lançamento da nave espacial (t=0) deverá ser de φ0T - φ0M =ωMT- θf Na figura, é mostrada as posições da Terra e Marte no momento de partida da nave espacial para uma viagem de 3 anos.
AtividadesIntroduza
Clique no botão titulado Novo É calculado o intervalo angular (φ0T - φ0M) entre as posições da Terra e de Marte no momento de partida da nave espacial, tal como foi colocado no exemplo. Clique no botão titulado Lançar. Se a nave não chega a Marte, clique no botão titulado Novo e voltamos a tentar Na parte direita na simulação, é proporcionada os valores do tempo (em dias), a posição angular e a velocidade dos três corpos: a nave espacial, a Terra e Marte. Observamos que a nave espacial parte das proximidades da Terra com a mesma velocidade orbital e chega nas proximidades de Marte com a sua mesma velocidade orbital. |
Bacon R. H. Logarithmic spiral: An ideal trajectory for interplanetary vehicle with engines of low sustained thrust. Am. J. Phys. 27 (1959), pp. 164-165.
Trajetória espiral
