Dinâmica celeste

Desvio para o leste em um lugar de latitude l, no hemisfério Norte.

A aceleração da gravidade

Referências

Na página anterior "Desvio para o leste de um corpo que cai (I)", foi suposto que a força de atração entre o corpo e a Terra é central e conservativa, por que o corpo que cai descreve uma elipse para o observador inercial. Foi determinada a equação desta trajetória e sua intersecção com a superfície terrestre. O cálculo como foi visto é bastante laborioso.

Nesta página, vamos a obter a fórmula do desvio para o leste de um corpo que cai desde uma altura h, supondo, de novo, que o corpo está situado a uma altura h sobre a superfície de um planeta de raio R em seu plano equatorial, e que gira com velocidade angular constante w ao redor do eixo que passa por seus pólos.

O corpo está inicialmente em repouso a uma altura h para o observador terrestre (não inercial), porém está situado a uma distância R+h do centro da Terra e atinge uma velocidade (h+R)·w relativo ao sistema de referência fixo (inercial), descrevendo uma órbita elíptica que intercepta a superfície do planeta em um ponto P. A medida que o corpo se move, o observador não inercial situado inicialmente abaixo do corpo vai descrevendo um arco de circunferência. O resultado é um desvio para o leste deste corpo em relação ao observador não inercial.

O cálculo deste desvio é baseado em duas premissas:

• Que a força de atração é central, por que o momento angular é mantido constante.
• Que a altura h é muito pequena comparada com o R raio do planeta.

A explicação deste desvio é muito mais evidente para os estudantes que aquela feita usando a fórmula da aceleração de Coriolis no sistema de referência em rotação.

Desvio para o leste no Equador

Como vemos na figura, o momento angular inicial da partícula de massa m é L=m(R+h)2w O momento angular no instante t é L=mrvq . Sendo vq a componente r(dq /dt) da velocidade em coordenadas polares perpendicular a direção radial.

Como o momento angular é mantido constante, temos a seguinte relação

Sendo z a altura sobre a superfície do planeta r=R+z no instante t.

Tendo em conta que h y z são muito menores que R, temos a seguinte relação aproximada mais simples

Para poder integrar esta equação temos que buscar a dependência de z com o tempo t.

Como z=h-gt²/2, onde g é a aceleração da gravidade (suposta constante) radialmente dirigida para o centro da Terra.

Como vemos na figura, o ângulo que formam o observador O e o objeto na posição P sobre a superfície da Terra é a diferença q -w t. O arco ou distância entre o ponto O e o ponto P é (arco=raio· ângulo)

Desvio para o leste em um lugar de latitude l, no hemisfério Norte.

Podemos generalizar este resultado para um objeto situado a uma altura h sobre a superfície da Terra em um lugar de latitude l . Como vemos na figura, este objeto, atinge uma velocidade w·(R+h)·cosl , e tem por tanto, um momento angular L= w (R+h)2cosl Os cálculos são similares aos já efetuados basta substituir w por w·cosl

Para chegar a fórmula do desvio para o leste

A aceleração da gravidade

Um tratamento mais exato nos da um valor de g algo inferior ao valor g₀ da aceleração da gravidade.

Para obter z em função do tempo temos que expressar a aceleração em coordenadas polares e considerar que a aceleração na direção radial a_r no sistema de referência inercial é -g₀, dirigida para o centro da Terra.

O termo que diminui g₀ é a aceleração centrífuga que é pequena comparada com g₀. Como r=R+z. temos

Integrando a equação diferencial de segunda ordem para um móvel que parte da altura z=h com velocidade inicial nula na direção radial temos que.

z=h-gt²/2