Dinâmica celeste

Comparação com o desvio obtido aplicando a fórmula da aceleração de Coriolis

Atividades

O desvio para o leste de um corpo que é se explicado nos livros de Física Geral desde o ponto de vista de um observador situado em um sistema de referência em rotação. São introduzidos os sistemas de referência não inerciais são deduzidas as fórmulas das denominadas forças fictícias (força centrífuga e de Coriolis).

Um corpo que cai no hemisfério norte é desviado para o sul pela força centrífuga e para o leste pela força de Coriolis.

Neste caso, vamos descrever desde o ponto de vista de um observador inercial, a queda de um corpo desde uma determinada altura sobre a superfície de um planeta em rotação. Suponhamos que estamos no plano equatorial do planeta.

Descrição

Suponhamos um planeta de massa M e raio R, que tem um movimento de rotação com velocidade angular w . Um observador situado na superfície do planeta vê como cai um corpo de massa m desde uma altura h acima do observador.

Para um observador inercial não ligado ao movimento de rotação do planeta, o corpo é lançado desde uma distância r=R+h do centro do planeta com uma velocidade inicial v1=w ·r. Desde o ponto de vista deste observador, o corpo se move sob a única influência da força de atração do planeta. Descreverá por tanto, uma órbita elíptica em um de cujos focos estará o centro do planeta. Os passos da presente discussão serão os seguintes:

• Cálculo da trajetória elíptica do corpo
• Intersecção da trajetória com a superfície do planeta
• Tempo que gasta para chocar-se com a superfície
• Determinação de seu desvio relativo a direção radial pelo observador não inercial, ou em rotação com o planeta.

Equação da trajetória elíptica

A equação de uma elipse em coordenadas polares é

Os valores do parâmetro d e da excentricidade e são calculados a partir da energia E e do momento angular L da partícula

Exemplo: Consideremos o planeta Terra com os seguintes dados

• Massa M=5.98·10²⁴ kg
• Raio R=6.378·10⁶ m
• Velocidade angular de rotação w =2p /(24·60·60) rad/s
• Constante da gravitação G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Suponhamos que o corpo é deixado cair desde uma altura h=0.1·R=6378 km, ou então desde uma distância r₁=7.02·10⁶ m,

• Sua velocidade é v₁=w ·r₁=510.2 m/s.
• Seu momento angular vale L=3.58·10⁹· m kgm²/s.
• Sua energia total será E=-5.67·10⁷·m J

Os parâmetros d e e da trajetória são obtidos mediante as fórmulas

Conhecidos os parâmetros d e e da equação da trajetória, são obtidos r₂ e r₁

Quando q =0º, r₂=16098 m
Quando q =180º, r₁=7.02·10⁶ m

Outra alternativa

Não é necessário utilizar estas duas fórmulas para calcular a equação da trajetória, existe outro caminho alternativo

Conhecido r₁ e v₁ se calcula r₂ e v₂ aplicando a constância do momento angular e da energia

Como na equação da trajetória, o valor de r₁ é obtido para q =180º,
e o valor de r₂ é obtido para q =0º,

Destas duas equações explicitamos d e e .

Intersecção com a superfície do planeta

Temos que encontrar a intersecção de uma elipse e de uma circunferência de raio R. Colocando na equação da trajetória r=R, explicitamos o ângulo q . Exemplo com os dados anteriores cos q i=-0.9995, o que dá um ângulo de intersecção de q i =178.3º.

Tempo que gasto para chocar-se com a superfície

Para calcular o tempo que gasta o corpo desde que é deixado cair até que choca com a superfície do planeta no ponto P, empregaremos a lei das áreas.

Em coordenadas polares o momento angular é expresso

Como foi visto a área varrida pelo raio vetor entre o instante t e o instante t+dt é um triângulo diferencial de área r²·dq /2.

A área varrida pelo raio vetor no tempo t é

Se calcularmos a área A sombreada em cor azul claro, obtemos o tempo t.

A área A sombreada é a soma da área de um triângulo e a área da porção da elipse da figura.

A área do triângulo é

A área da porção de elipse A₂ pode ser calculada somando as áreas dos elementos infinitesimais ydx compreendidos entre x₁=–a e x₂= –R·cos(p -q _i)+c. Onde a é o semi-eixo maior da elipse a=(r₁+r₂)/2, e c é a semi-distância focal c=e ·a.

A equação da elipse em coordenadas retangulares é

com x₁=–a, a expressão é  reduzida a

com x₂= –R·cos(p -q _i)+e a

Se x₂=+a obtemos a metade da área da elipse p ab/2

Exemplo:

Seguindo com os dados anteriores temos que

• O semi-eixo maior da elipse a=(r₁+r₂)/2¸ vale a=3.52·10⁶ m
• A semi-distancia focal c=e ·a, vale c=3.50·10⁶ m
• O semi-eixo menor , vale b=3.36·10⁵ m

• A área A₁=6.17·10¹¹ m²
• A área A₂=8.43·10¹⁰ m²
• A área total é A=7.0·10¹¹ m²

Agora somente resta explicitar o tempo da equação

, dando t=391.6 s

Determinação de seu desvio relativo a direção radial para o observador não inercial, ou em rotação com o planeta.

O corpo depois de um tempo t choca com a superfície do planeta em P. A posição angular do ponto P é p -q i. Entretanto tanto o observador foi deslocado ao ponto O cuja posição angular é w ·t. A distância ao longo da superfície do planeta entre O e P é o comprimento do arco s=R·(p -q i-w ·t) Com os dados que dispomos s=11837 m

Comparação com o desvio obtido aplicando a fórmula da aceleração de Coriolis

Vamos comparar o desvio para o leste de um corpo que é deixado cair desde uma altura h no Equador mediante o procedimento explicado nesta página, com o desvio obtida aplicando a fórmula da aceleração de Coriolis.

1.-A força de atração é central e conservativa. A trajetória que segue o corpo em sua queda é elíptica

Seja h=0.01·R=63780 m. próxima da superfície da Terra

Os dados iniciais necessários para determinar a trajetória elíptica são:

r₁=R+h=6.44·10⁶ m
v₁=w ·r₁=468.5 m/s

Da constância do momento angular e da energia obtemos r₂ e v₂. Somente nos interessa r₂=11436 m.

• O semi-eixo maior da elipse vale a=(r₁+r₂)/2=3.35·10⁶ m
• A semi-distância focal c=r₁-a=3.09·10⁶ m
• A excentricidade e =c/a=0.996
• O semi-eixo menor =2.71·10⁵ m

O parâmetro d=a(1- e²)=22831.2 m

O ângulo q _i=179.52º

A área total A= A₁+ A₂=1.715·10¹¹+2.30·10⁹=1.74·10¹¹

O tempo t que gasta o móvel para atingir a superfície da Terra t=2A/(r₁·v₁)=115.21 s

O desvio do corpo relativo ao observador na superfície terrestre.

s=R·(p -q _i-w ·t)=355.43 m

2.-Queda de um corpo descrita por um observador em rotação (não inercial).

Tempo que gasta para chegar a superfície da Terra caindo desde uma altura de h=63780 m.

Com h=gt²/2, tomando g=9.8, se obtém t=114.1 s

Aplicando a fórmula do desvio para a latitude l =0º.

Obtemos um valor muito parecido, a pesar de que g é menor que 9.8 devido a aceleração centrífuga e a que diminui com a altura.

Atividades

Escolhemos um planeta entre os seguintes:

Fonte: M. Márov. Planetas do Sistema Solar. Editorial Mir

Introduza a altura sobre a superfície do planeta, uma fração do raio do mesmo.

Clique no botão titulado Começar.

O objeto que está a uma altura h acima do observador não inercial situado na superfície do planeta, começa a cair. Sua trajetória para um observador inercial é uma porção de uma elipse, ao mesmo tempo que o objeto cai o observador não inercial descreve um movimento circular. O observador inercial mede o deslocamento de ambos durante o tempo de queda do corpo.

O observador não inercial situado na superfície do planeta mede o deslocamento relativo ao corpo, o comprimento do arco de circunferência entre a posição que ocupa o observador (um ponto de cor vermelha) e o ponto de impacto do corpo sobre a superfície do planeta.

O desvio para o leste do corpo que cai é pequena para os planetas com velocidade de rotação muito baixa como Vênus, e é muito pronunciada para planetas com elevada velocidade angular de rotação como Júpiter.