Dinâmica celeste

Outra forma de medir G

Referências

Nesta página, é descrita duas experiências simuladas que mede a constante G da Gravitação Universal. A segunda é uma experiência muito diferente da de Cavendish que é descrita na maior parte dos livros texto.

A experiência de Cavendish

A massa da Terra pode ser determinada uma vez que é conhecido o valor da constante G.

Em primeiro lugar, a força de atração de uma distribuição esférica de massa de raio R e massa M sobre uma partícula de massa m situada fora da esfera, é equivalente ao de uma partícula cuja massa seja a da esfera situada em seu centro.

Aplicamos a segunda lei de Newton a um corpo de massa m que cai livremente, sabendo que sua aceleração de queda, nas proximidades da superfície da Terra é g.

Como o raio R da Terra é conhecido e g também pode ser medido mediante várias experiências, uma das mais simples é a medida do tempo t gasto para cair um corpo de uma determinada altura h, h=gt²/2.

Se a aceleração da gravidade medida é g=9.8 m/s² e o raio da Terra, suposta esférica é R =6.37·10⁶ m temos que a massa da Terra é

Podemos calcular também a densidade média da Terra dividindo a massa M pelo volume de uma esfera de raio R, resultando ρ=5506.5 kg/m³=5.5 g/cm³.

Para “pesar a Terra” necessitamos determinar o valor de G, mediante uma experiência similar a efetuada por Cavendish.

A balança de gravitação é um instrumento muito sensível que permite demonstrar a atração entre duas massas e determinar o valor da constante G.

O pêndulo de torção consta de um fio de torção cuja constante K é da ordem 10-8 N·m. Por seu extremo inferior presa a uma varinha horizontal de massa desprezível que tem duas pequenas esferas de m=20 g de massa cada uma e de 7.5 mm de raio. A distância do fio de torção ao centro de cada uma das esferas é d=50 mm.

O pêndulo oscila com um período de aproximadamente, 10 minutos.

Estas pequenas esferas são atraídas por duas esferas fixas de M=1.5 kg de massa e de 32 mm de raio.

Para determinar a constante G, mediante a balança de gravitação é necessário medir a posição inicial e a final de equilíbrio e o movimento oscilatório amortecido entre estas duas posições. O ângulo entre estas posições de equilíbrio é uma medida da força de atração. Para medir o ângulo, dispomos de um raio LASER que incide sobre um espelho côncavo. A oscilação do pêndulo, é observada indiretamente mediante o movimento da marca luminosa produzida pelo raio refletido em uma régua graduada situada a L=4.425 m de distância.

Posição inicial de equilíbrio

Na posição inicial de equilíbrio, devido a força de atração das duas esferas grandes sobre as pequenas, o pêndulo gira um ângulo –α/2. O ângulo que forma o raio incidente e refletido é α. A régua marca a posição x0=0.

Oscilações do pêndulo

Uma vez que o pêndulo é mantido estável na posição inicial de equilíbrio, as esferas grandes se movem rapidamente para a posição diametralmente oposta. O pêndulo começa a oscilar com um período

onde 2md² é o momento de inércia da varinha de massas desprezível e das duas esferas consideradas como massas pontuais, e K é a constante de torção do fio.

Medimos o período P das oscilações tal como é mostrado na figura, o tempo que transcorre entre dois máximos da amplitude.

A constante de amortecimento é pequena, de modo que o pêndulo oscila durante bastante tempo antes de alcançar a posição final de equilíbrio

Posição final de equilíbrio

A força de atração entre a esfera grande e a pequena é

O momento do par de forças devido a atração entre as esferas, relativo ao eixo de oscilação, faz com que o pêndulo gire um ângulo α/2. O ângulo que forma o raio incidente e refletido é α. A régua marca a posição x_f.

2Fd=Kα/2

A posição x_f da marca luminosa sobre a régua distante L do espelho côncavo é

já que α é um ângulo pequeno

Explicitamos a constante G

Exemplo:

• O período do pêndulo é o intervalo de tempo entre dois máximos, no gráfico x-t da oscilação, P=10.8 min=648 s

• Posição final de equilíbrio na régua, x_f=17.3 cm

• Distância do espelho da balança de torção a régua, L=4.425 m

• Massa da esfera grande, M=1.5 kg

• Distância entre os centros da esfera grande e da esfera pequena na posição de equilíbrio é b=0.047 m

• Distância da pequena esfera ao eixo de oscilação d=0.05 m

Atividades

O programa interativo, gera aleatoriamente, um valor da constante K de torção dentro de certos limites.

Clique no botão titulado Início

O pêndulo de torção é colocado na posição inicial de equilíbrio

Clique no botão titulado Começar

As esferas grandes são colocadas em posições diametralmente oposta

O pêndulo de torção começa a oscilar, até que ao cabo de um certo tempo medido em minutos, é parado na posição final de equilíbrio.

Medimos o período P da oscilação e a posição x_f final de equilíbrio. Calculamos a constante G da lei da Gravitação Universal.

Outra forma de medir G

Uma partícula de massa M descreve um movimento circular de raio R com velocidade angular constante ω. Um pêndulo está em ação com um longo fio inextensível de comprimento l do qual pende uma partícula de massa m, está inicialmente em sua posição de equilíbrio. A força de atração entre as duas partículas faz com que a partícula de massa m se mova descrevendo uma trajetória em forma de espiral quando se cumpre uma determinada condição.

As forças que atuam sobre a partícula de massa m são:

A força F₁ restauradora, que é produzida quando o pêndulo é desviado de um pequeno ângulo θ com relação a posição de equilíbrio. A componente tangencial do peso vale mg·senθ, tal como é indicado na parte direita da figura. Se o ângulo θ é pequeno, podemos escrever

F₁≈ mg·senθ=mgr/l

As componentes desta forças são (veja a figura abaixo)

F_1x=-F₁·x/r=-mgx/l
F_1y=-F₁·y/r=-mgy/l

A força F₂ de atração entre a partícula de massa m e a partícula de massa M, tem por módulo

As componentes desta força são

A equação do movimento da partícula de massa m é

ma_x=F_1x+F_2x
ma_y=F_1y+F_2y

Se considerarmos que o deslocamento r do pêndulo relativo a posição de equilíbrio é pequeno frente ao raio R da partícula de massa M, as componentes F_2x e F_2y são expressas

As equações do movimento são escritas em forma de equação diferencial

ou então

Resolvemos o sistema de duas equações diferenciais de segunda ordem com as condições iniciais t=0, x=0, y=0, dx/dt=0, dy/dt=0, logo, a partícula de massa m parte da origem com velocidade nula.

• Solução da primeira equação diferencial

A solução particular da primeira equação diferencial é x₁=K·cosωt

Introduzindo esta solução na equação diferencial determinamos o valor da constante K.

A solução completa da equação diferencial é

x=x₁+A·senω₀t+B·cosω₀t

As condições iniciais t=0, x=0, dx/dt=0 determinam os valores das constantes A e B.

• Solução da segunda equação diferencial

A solução particular da segunda equação diferencial é y₁=K·senωt

Introduzindo esta solução na equação diferencial determinamos o valor da constante K.

A solução completa da equação diferencial é

y=y₁+A·senω₀t+ B·cosω₀t

As condições iniciais t=0, y=0, dy/dt=0 determinam os valores das constantes A e B.

Caso particular

Quando ω≈ω₀ temos para a solução da primeira equação diferencial

A solução da primeira equação diferencial é convertida em

Para a solução da segunda equação diferencial

A solução da segunda equação diferencial é convertida em

A distância r da partícula de massa m a origem é

A distância r é incrementada proporcionalmente ao tempo t, a partícula descreve uma espiral que parte da origem.

Temos que desenhar nosso experimento simulado de modo que a freqüência

coincida com grande aproximação com a velocidade angular ω de rotação da partícula de massa M.

Atividades

Introduza

• A massa M da partícula em kg, que descreve o movimento circular, no controle de edição titulado Massa
• O raio R da circunferência que descreve em cm, no controle de edição titulado Raio, o valor introduzido deverá estar compreendido entre 6 e 10 cm.
• A velocidade angular de rotação ω, em rad/s, no controle de edição titulado V. angular
• O comprimento do pêndulo foi fixado no valor l=1.2 m

Clique no botão titulado Novo, e continuando, clique no botão titulado Começar.

Observamos o movimento circular da partícula de massa M, o pêndulo estará praticamente imóvel na origem. Na parte superior esquerda na simulação, é indicado o instante t em segundos, e o desvio do pêndulo  (distância a origem) r em mm.

Introduzimos o tempo t medido em horas no controle de edição titulado Tempo, e clicamos no botão titulado Começar.

• No controle área de texto situado a esquerda, são guardados os dados do tempo t em horas e do desvio r em mm.

• Observe o movimento do pêndulo neste instante e posteriores.

Voltemos a introduzir outro tempo medido em horas no controle de edição titulado Tempo, e clicamos no botão titulado Começar, e assim sucessivamente.

Quando temos suficientes resultados “experimentais” clicamos no botão titulado Gráfico.

Para começar outra experiência, com outros dados da massa M, o raio R e a velocidade angular de rotação ω, clique no botão titulado Novo.

Podemos mudar a escala de observação, ativando alguns dos botões de raio titulados dm, cm e mm. Na primeira escala dm observamos o movimento circular da partícula de massa M, nas outras escalas está muito distante da origem e desaparece da janela na simulação.

O pêndulo não é desviado apenas de sua posição de equilíbrio se ω é diferente de ω₀, tal como podemos comprovar na simulação e calcular a partir das equações do movimento.

Exemplo:

• Seja a massa M=50 kg da partícula que descreve o movimento circular de raio R=8 cm=0.08 m
• O comprimento do pêndulo é l=1.2 m
• A aceleração da gravidade g=9.8 m/s²
• A constante da gravitação universal é G=6.67·10^-11 N²m²/kg²

 A freqüência

se diferencia muito pouco da freqüência angular de oscilação do pêndulo, devido a que o segundo termo que contém a constante G é muito pequeno.

Introduzimos a velocidade angular de rotação ω=3 rad/s. calculamos x e y no instante t=1 hora=3600 s

O mesmo ocorre para y. O pêndulo não se desvia apenas da origem, inclusive depois de um tempo muito grande.

O desvio é incrementado apreciavelmente quando ω≈ω₀=2.857739, ao cabo de uma hora o desvio do pêndulo é

Que podemos observar ativando o botão de raio titulado mm.

Devemos procurar introduzir um tempo t que não seja o suficientemente grande como para que deixe de cumprir a condição de que r<<R, na qual nos baseamos para obter uma expressão simples que descreva aproximadamente o movimento do pêndulo.

Comprovar que quando ω≈ω₀ o desvio r

• É proporcional a massa M
• É inversamente proporcional ao quadrado do raio R da partícula de massa M que descreve a trajetória circular.
• É proporcional ao tempo t.

Na experiência simulada, e obtido o valor de G a partir da medida da inclinação da reta

Quando é clicado o botão titulado Gráfico, são traçadas uma linha reta e são traçados uma série de pontos de cor vermelha que representam os resultados “experimentais”.

• no eixo vertical, é representado o desvio do pêndulo r em mm,
• no eixo horizontal, o tempo transcorrido t em horas.

Se introduzimos os dados

• A massa M=50 kg da partícula que descreve o movimento circular

• Sua radio R=8 cm=0.08 m

• Velocidade angular ω=2.8577 rad/s

Clicamos no botão titulado Novo, mudamos várias vezes o valor do tempo t clicando no botão titulado Começar e finalmente, clicamos no botão titulado Gráfico. Observamos a representação gráfica dos dados "experimentais" e da reta. Anotamos o valor de sua inclinação 0.328. mm/h. Com este dado calculamos G.