Dinâmica celeste

Movimento de queda até a Terra

Aproximações

Atividades

Referências

Nesta página, é estudado o movimento de queda de um satélite artificial, que foi posto em órbita circular ao redor da Terra a uma altura h acima de sua superfície. Suponhamos que a Terra está rodeada por uma atmosfera formada por uma capa de gás de densidade uniforme, cujo raio externo é maior que o da órbita do satélite, de modo que, a força de atrito que é exercida sobre o satélite é constante.

Na realidade, a atmosfera está formada por várias capas, definidas de acordo com a variação vertical da temperatura:

• na troposfera, a temperatura diminui com a altura a razão de 0.6ºC a cada 100 m.
• na estratosfera, a temperatura permanece praticamente constante
• na mesosfera, a temperatura aumenta e logo diminui
• na termosfera, a temperatura cresce regularmente com a altura.

Também podemos subdividir a atmosfera em camadas de acordo com a composição química:

• a homosfera (até 100 km), os constituintes principais do ar (oxigênio e nitrogênio) permanecem em proporção constante.
• a heterosfera (de 100 km a 1000 km), predominam os gases ligeiros, hidrogênio, nitrogênio, hélio.
• a exosfera, (a partir de 1000 km) as moléculas mais ligeiras escapam para o espaço exterior vencendo a força de atração da Terra.

No capítulo Física Estatística e Termodinâmica, é estudado um modelo simples de atmosfera de um planeta, a pressão e a densidade diminuem exponencialmente com a altura, supondo que a temperatura permanece constante.

A força de atrito sobre o satélite dependerá em geral, de sua forma, da densidade do ar e da velocidade do satélite, por isto a equação do movimento resultará bastante complicada. Nesta página, faremos algumas aproximações que nos permitiram descrever de forma fácil o movimento do satélite.

Órbita circular

Consideremos um satélite artificial que descreve uma órbita circular ao redor da Terra de raio R. Aplicando a equação da dinâmica do movimento circular uniforme temos que:

onde G=6.67·10^-11 Nm²/kg², e M=5.98·10²⁴ kg é a massa da Terra e seu raio é de 6370 km.

Como vemos na figura, quando o satélite descreve uma órbita circular, a velocidade é perpendicular a direção radial, ou na direção da força de atração.

Por ser a força de atração conservativa, a energia do satélite artificial é constante em todos os pontos da circunferência que descreve.

A energia total E é a metade da energia potencial, e é negativa.

Movimento de queda para a Terra

Quando o satélite artificial cai para a Terra descreve uma espiral. O ângulo que forma a velocidade com a direção radial já não é 90º e sim um ângulo 90º-φ um pouco menor. Em outras palavras, a direção da velocidade está ligeiramente por abaixo da direção horizontal local. A direção normal (perpendicular a direção da velocidade) já não coincide com a direção radial e sim que formam um ângulo φ.

Na figura, são mostradas as forças sobre o satélite quando está a uma distância r do centro da Terra.

• A força de atração F
• A força de atrito F_r que supomos constante e de sentido oposto a velocidade.

Decompomos a força F na direção da velocidade (tangencial), e na direção perpendicular a velocidade (normal).

As equações do movimento na direção tangencial e na direção normal são:

ma_t=F·senφ-F_r
ma_n=F·cosφ

• a primeira nos da conta como varia o módulo da velocidade v do satélite com o tempo.
• a segunda, como varia a direção da velocidade

Onde r_c é o raio de curvatura da trajetória, um valor distinto do radio r da trajetória circular com centro na Terra.

Solução numérica

Podemos estabelecer as equações do movimento em coordenadas retangulares:

max=-F·cosθ+Fr·sen(θ+φ) may=-F·senθ-Fr·cos(θ+φ) com x=r·cosθ    y=r·senθ vx=-v·sen(θ+φ)  vy=v·cos(θ+φ)

As duas equações do movimento são transformadas em um sistema de duas equações diferenciais de segundo ordem, que são resolvidas por procedimentos numéricos, com as condições iniciais t=0, x=R, y=0, v_x=0, v_y=v₀. Onde v₀ é a velocidade do satélite artificial quando descreve uma órbita circular inicial de radio R.

Aproximações

Fazendo algumas aproximações, podemos descrever a equação do movimento do satélite artificial de uma forma simples.

Se supormos que o ângulo φ é pequeno e que por tanto, a componente da velocidade v ao longo da horizontal local é vH=v·cosφ≈v, e que a componente radial vR é pequena, por que senφ≈tanφ=-vR/vH

A equação

seria a de um satélite que estivesse descrevendo uma órbita circular de raio r com velocidade v_H=v·cosφ

Simplificando m e r e a continuando, derivando com relação a r temos que

A aceleração tangencial vale, empregando a regra da cadeia

Destas duas últimas equações chegamos a

Com esta aproximação, a equação do movimento na direção tangencial

ma_t=F·senφ-F_r

é escrita

O ângulo que forma o vetor velocidade com a horizontal local é

Chegamos a seguinte conclusão paradoxal

A força de atrito incrementa o módulo v da velocidade do satélite. Na realidade, é a resultante das duas forças (atração e atrito) a qual tem uma componente na direção velocidade do satélite, como pode facilmente comprovar-se a partir dos esquemas desta página.

As equações que nos permitem obter a posição do móvel em coordenadas polares (r, θ) em função do tempo t são:

Onde v₀ é a velocidade do satélite artificial na órbita circular inicial de raio R, que descreve no instante inicial t=0.

A energia inicial do satélite artificial foi calculada no tópico anterior. A energia final, supondo de novo que o satélite artificial descreve uma órbita quase circular de raio r com velocidade v, será

A energia perdida por causa do atrito do satélite artificial com a atmosfera é a diferença

Atividades

O objetivo do programa interativo não é o de realizar um cálculo da posição e da velocidade do satélite artificial, e sim a de mostrar sua trajetória em forma de espiral, e como aumenta sua velocidade a medida que desce.

Introduza

• A altura do satélite em km, acima da superfície da Terra movendo o dedo na barra de deslocamento titulada Altura.

• O quociente F_r/m da força de atrito F_r e a massa m do satélite movendo o dedo na barra de deslocamento titulada Atrito.

Clique no botão titulado Começar.

Observe o movimento do satélite ao redor da Terra, até que choca com sua superfície, uma circunferência de cor azul representa a órbita circular inicial.

São proporcionados os dados do tempo em horas, a velocidade em m/s e a altura em km sobre a superfície da Terra.

A esquerda, são representadas mediante barras de cores as variações energéticas:

• em cor azul, a energia cinética que é positiva
• em cor vermelha, a energia potencial que é negativa
• uma raia de cor claro, indica a energia total E, por unidade de massa m, cujo valor é mostrado em milhões de J/kg.
• Uma barra de cor preta mostra a diferença entre a energia inicial e a final, ou a perda de energia devido ao atrito a medida que cai o satélite para a superfície da Terra.

Exemplo:

Introduzimos os dados

• Altura h=5000 km

• Atrito F_r/m=0.025

Calculamos o ângulo que forma a direção da velocidade com a horizontal local

O ângulo φ é muito pequeno e vai diminuindo a medida que o satélite artificial se aproxima da Terra.