Dinâmica celeste

Uma máquina de Atwood gigantesca

Exemplo

Atividades

Referências

	A máquina de Atwood é um clássico exemplo da aplicação da segunda lei de Newton. Consta de uma polia fixa e uma corda inextensível e de massa desprezível que passa pela polia e de cujos extremos pendem duas massas. Primeiro, se considera que a polia tem um momento de inércia desprezível e quando se estuda a dinâmica de rotação, são proporcionados o dado do momento de inércia da polia.
	Nesta página, se estuda o movimento de uma máquina de Atwood gigantesca. Consta de uma roda que supomos de massa desprezível, situada a grande altura sobre o solo. Pela roda passa uma corda inextensível e de massa desprezível do qual pendem duas massas iguais. Estudaremos o efeito da variação da aceleração da gravidade com a altura sobre o movimento dos corpos.

A máquina de Atwood

Na figura, são mostradas as forças sobre cada um dos dois corpos, supomos que m₁>m₂. Consideramos que a aceleração da gravidade g é constante em módulo e direção

Aplicamos a segunda lei de Newton a cada um dos corpos m1g-T=m1a T-m2g=m2a Explicitamos a aceleração

A velocidade dos corpos quando o primeiro desce uma altura h partindo do repouso é

Aplicando o princípio de conservação da energia, chegamos ao mesmo resultado. Comparamos o estado inicial e o estado final quando o corpo de massa m₁ desce uma altura h, e o corpo de massa m₂ sobe a mesma altura. Coloquemos o nível zero de energia potencial na posição inicial dos dois corpos. Igualamos a energia inicial e a energia final.

Uma máquina de Atwood gigantesca

Se os dois corpos tem a mesma massa e estão a mesma altura, a máquina de Atwood estará em equilíbrio instável. Desnivelando, os dois corpos ficam inicialmente a distinta altura e a variação da aceleração da gravidade com a altura faz com que o corpo mais próximo a Terra experimenta uma força maior que o corpo mais distante.

Estabelecemos a origem na posição de equilíbrio dos dois corpos, quando estão a mesma altura H sobre a superfície da Terra. Deslocando uma distância x os dois corpos, um para cima e o outro para baixo. A força que experimenta o corpo mais próximo ao solo é e o mais distante

Sendo R=6.37·10⁶ m o raio da Terra, M=5.98·10²⁴ kg a massa da Terra, G=6.67·10^-11 Nm²/kg², e m é a massa de cada um dos dois corpos.

Aplicamos a segunda lei de Newton a cada um dos dois corpos F1-T=ma T-F2=ma Explicitamos a aceleração a=(F1-F2)/(2m)

Tendo em conta que H e x são muito pequenos frente ao raio R da Terra, podemos obter uma expressão simples da aceleração a em função do deslocamento x.

Escrevemos a equação do movimento na forma de equação diferencial

A solução desta equação diferencial tem a forma

A velocidade dos corpos é

Os coeficientes A e B são determinados a partir das condições iniciais, no instante t=0, o deslocamento inicial é x=x₀, e a velocidade inicial v=0. As expressões da posição e velocidade dos corpos são

Tempo que gasta um dos corpos para chegar ao solo.

O corpo mais próximo a Terra parte da posição x=x₀ no instante t=0, e chega a posição x=H no instante t.

Explicitamos o tempo t na equação H=x₀·cosh(kt)

Fazendo a mudança de variável z=e^kt, temos uma equação de segundo grau em z. A raiz que da um tempo t positivo é

Como podemos ver o tempo t depende do quociente H/x₀. São obtidos o mesmo tempo quando H=100 e x₀=10, que quando H=10 e x₀=1. Sempre que se cumpre que H<<R

Balanço energético

Comparamos a situação inicial com a situação no instante t (veja a segunda figura). Aplicamos o princípio de conservação da energia

Dado o deslocamento x calculamos a velocidade v dos corpos

Exemplo

A posição de equilíbrio dos dois corpos a mesma altura H=100 m. São deslocados os dois corpos x₀=10 m. Calcular o tempo que emprega para chegar ao solo e a velocidade final dos blocos. Dados:

• Raio da Terra, R=6.37·10⁶ m,

• Massa da Terra M=5.98·10²⁴ kg,

• Constante G=6.67·10^-11 Nm²/kg²,

• Aceleração da gravidade na superfície da Terra g=GM/R²=9.83 m/s²

Aplicando o princípio de conservação da energia

v=0.247 m/s

Há uma pequena discrepância entre o cálculo exato da velocidade e o aproximado tendo em conta que H e x₀ são pequenos frente ao raio R da Terra

Atividades

Introduza

• O deslocamento inicial x₀, atuando na barra de deslocamento titulada Deslocamento inicial.

• Foi fixado a altura inicial de equilíbrio dos dois corpos em H=100 m

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