Dinâmica celeste

Atividades

Nesta página, vamos comprovar a formação de um anel ao redor de um planeta. Suponha que o planeta tem um satélite em forma de disco com seu diâmetro dirigido para o centro do planeta e que o centro do disco descreve uma órbita circular

Em um momento dado, o satélite se rompe em múltiplos fragmentos. Estudaremos o movimento de cada um dos elos, e veremos como ao cabo de um certo tempo é disposto formando um anel ao redor do planeta. Para simplificar o problema, supomos que os fragmentos são massas pontuais, e sua atração mútua é desprezível frente a atração dominante do planeta.

Descrição

Aplicaremos a dinâmica do movimento circular uniforme para descrever o movimento do centro de massas de um satélite de massa m em órbita circular de raio R ao redor do planeta de massa M.

A segunda lei de Newton expressa que a força de atração é igual ao produto da massa pela aceleração normal.

Desta equação explicitamos a velocidade linear vc do centro do satélite e a velocidade angular w de rotação, que são respectivamente A velocidade v0 de um fragmento do planeta em forma de disco a uma distância r0 do centro do planeta vale v0=w r0.

No momento no qual se rompe o satélite a energia e o momento angular de cada fragmento valem respectivamente

Para que os fragmentos se mantenham descrevendo órbitas ao redor do planeta, é necessário que suas energias totais sejam negativas (E<0). Isto impõe um tamanho máximo ao satélite. A distância do fragmento do satélite mais distante do centro do planeta tem que ser inferior a . Por que diâmetro do satélite deverá ser inferior a

Como a força que atua sobre cada fragmento é central e conservativa, as grandezas energia total E e momento angular L, são mantidas constantes ao longo de sua trajetória, uma elipse que em coordenadas polares

O período da órbita de um fragmento vale

sendo a o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor da órbita elíptica.

Introduzindo os parâmetros d e excentricidade e nos valores da energia e do momento angular de cada um dos fragmentos, obtemos

Para obter o valor do período, temos de calcular o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b da elipse. Já foi visto que a relação entre os semi-eixos da elipse e a semi-distância focal c é

e a relação entre o semi-eixo maior a da elipse e as distâncias mais distantes r₁ e mais próximas ao foco r₂.

Efetuando algumas operações, obtemos o período P de um fragmento situado a uma distância inicial r₀ do centro do planeta.

onde P₀ é o período do centro do satélite em sua órbita circular.

Vemos, por tanto, que distintos fragmentos tem períodos distintos, o que da lugar a que se atrasem ou se adiantem relativo ao centro do satélite original. Na seguinte tabela são proporcionados alguns valores

Atividades

• No programa, o raio da órbita circular do satélite ao redor do planeta é tomado como a unidade, é introduzido o diâmetro do satélite menor que 0.5 no controle de edição titulado Diâmetro do satélite.

• Introduza o número de fragmentos em que se rompe o satélite no controle de edição titulado Número de fragmentos.

• Observe o movimento do satélite clicando no botão titulado Novo.

• Observe o movimento dos fragmentos do satélite clicando no botão titulado Rompe.

Para observar um anel formado pelos fragmentos do satélite girando ao redor do planeta, introduzir valores tal como

• Diâmetro do satélite, 0.01
• Número de fragmentos, 100.